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Groups

본 페이지에서는 그룹에 대해 다룹니다. 먼저 그룹의 정의와 조건을 살펴 보고 추가로 아벨리안그룹에 대해서도 확인합니다.

Preliminaries

그룹(Groups; 군)

Definition

집합(set) GGG의 원소로 이뤄진 순서쌍에 서로 할당되는 함수를 GGG에서의 이항연산(binary operation)*이라 한다.
; A function ∗:G×G→G*:G\times G\rightarrow G∗:G×G→G is called a binary operation on GGG

Definition

GGG가 집합(set)이고, ∗:G×G→G*:G\times G \rightarrow G∗:G×G→G가 이항연산(binary operation)이며 아래 세조건을 만족하면 (G,∗)(G,*)(G,∗)를 그룹(Group)*이라고 한다.

∀a,b,c∈G, (a∗b)∗c=a∗(b∗c)^{\forall}a,b,c \in G,~(a*b)*c=a*(b*c)∀a,b,c∈G, (a∗b)∗c=a∗(b∗c)   : 결합법칙(associativity)

∃e∈G s.t  e∗g=g∗e=g   ∀g∈G\exist e \in G~s.t~~e*g=g*e=g~~~^{\forall}g \in G∃e∈G s.t  e∗g=g∗e=g   ∀g∈G   : 항등원(identity)

for each  g∈G, ∃g−1∈G  s.t.  g∗g−1=e=g−1∗gfor~each~~g\in G,~\exist g^{-1} \in G~~s.t.~~g*g^{-1}=e=g^{-1}*gfor each  g∈G, ∃g−1∈G  s.t.  g∗g−1=e=g−1∗g   : 역원(inverse)

즉, 집합(set)

G

에 대해 이항연산(binary operation)이 존재할 때 결합법칙(associativity)이 성립하고, 항등원(identity), 역원(inverse)이 존재하면 이를 그룹(Group)이라고 한다.

example

•

(R,+)(\mathbb{R},+)(R,+)

•

반례 (R,⋅)(\mathbb{R}, \cdot)(R,⋅) → 0의 역원(inverse)이 존재하지 않음

•

(R∗,⋅)(\mathbb{R}^{*},\cdot)(R∗,⋅) → R∗=R−{0}\mathbb{R}^*=\mathbb{R} - \{0\}R∗=R−{0}

Definition

모든 a,b∈Ga,b \in Ga,b∈G에 대해 ab=baab=baab=ba가 성립하면 이를 아벨리안 그룹(abelian group)* 이라고 한다. 
어떤 a,b∈Ga,b \in Ga,b∈G에 대해 ab≠baab\neq baab=ba가 성립하면 이를 비아벨리안 그룹(nonabelian group)*이라고 한다.

note

Mn(R):={n×nM_n(\mathbb{R}):=\{n\times nMn​(R):={n×n matrices whose entries have values in R}\mathbb{R}\}R}

GL_n(\mathbb{R}):=\{A\in M_n(\mathbb{R}):det~A\neq0 \}

: general linear group

SL_n(\mathbb{R}):=\{A \in M_n(\mathbb{R}):det~A=1\}

: special linear group

SL_n(\mathbb{R}) \subset GL_n(\mathbb{R}) \subset M_n(\mathbb{R})

[그룹(group)]

•

(Mn(R),+)(M_n(\mathbb{R}),+)(Mn​(R),+)

•

(GLn(R),⋅)(GL_n(\mathbb{R}),\cdot)(GLn​(R),⋅)

•

(SLn(R),⋅)(SL_n(\mathbb{R}),\cdot)(SLn​(R),⋅)

[그룹이 아님(not group)]

•

(Mn(R),⋅)(M_n(\mathbb{R}),\cdot)(Mn​(R),⋅) → A∈Mn(R)A \in M_n(\mathbb{R})A∈Mn​(R)에 대해 det A=0det~A=0det A=0이면 역원이 존재하지 않는다.

•

(GLn(R),+)(GL_n(\mathbb{R}),+)(GLn​(R),+) → 항등원이 존재하지 않는다. 0∉GLn(R)0 \notin GL_n(\mathbb{R})0∈/GLn​(R)

•

(SLn(R),+)(SL_n(\mathbb{R}),+)(SLn​(R),+) → 항등원이 존재하지 않는다. 0∉SLn(R)0 \notin SL_n(\mathbb{R})0∈/SLn​(R)

•

(GLn(Z),⋅)(GL_n(\mathbb{Z}),\cdot)(GLn​(Z),⋅) → 역원이 존재하지 않는 원소가 존재한다. (반례 (2 00 2)\bigg(\begin{matrix}
2~0 \\
0~2
\end{matrix}\bigg)(2 00 2​))

example

•

Zn={0,1,2,⋯ ,n−1}\mathbb{Z}_n=\{0,1,2,\cdots,n-1\}Zn​={0,1,2,⋯,n−1}

◦

(Zn,+′),  +′:Zn×Zn→a+′b=(a+b) mod nZ(\mathbb{Z}_n,+^{\prime}),~~+^{\prime}:\mathbb{Z}_n\times \mathbb{Z}_n \underset{a+^{\prime}b=(a+b) ~mod~n}\rightarrow \mathbb{Z}(Zn​,+′),  +′:Zn​×Zn​a+′b=(a+b) mod n→​Z        : 그룹

◦

(Zn,⋅′),  ⋅′:Zn×Zn→a⋅′b=(a⋅b) mod nZ(\mathbb{Z}_n,\cdot^{\prime}),~~\cdot^{\prime}:\mathbb{Z}_n\times \mathbb{Z}_n \underset{a\cdot^{\prime}b=(a\cdot b) ~mod~n}\rightarrow \mathbb{Z}(Zn​,⋅′),  ⋅′:Zn​×Zn​a⋅′b=(a⋅b) mod n→​Z               : 그룹이 아님(∵\because∵ 0의 역원이 존재X)

◦

(Z,−)(\mathbb{Z},-)(Z,−)  : 그룹이 아님 
               (결합법칙이 이루어지지 않기 때문. 사칙연산에서 메인은 더하기, 곱하기 만)

example

Theorem (Uniqueness of the identity)

GGG가 그룹(group)이라면 GGG의 항등원(identity)은 유일하게 존재한다.
; Let GGG be a group →∃!\rightarrow \exist !→∃! identity element of GGG

Proof.

Exercises

Translate each of the following multiplicative expressions into its additive counterpart. Assume that the operation is commutative.

a2b3a^2b^3a2b3

a−2(b−1c)2a^{-2}(b^{-1}c)^2a−2(b−1c)2

(ab2)−3c2=e(ab^2)^{-3}c^2=e(ab2)−3c2=e

solution

List the members of H={x2  ∣  x∈D4}H=\{x^2\;|\;x\in D_4\}H={x2∣x∈D4​} and K={x∈D4  ∣  x2=e}K=\{x\in D_4\;|\;x^2=e\}K={x∈D4​∣x2=e}.

solution

Let GGG be a group with the following property: Whenever aaa, bbb, and ccc belong to GGG and ab=caab=caab=ca, then b=cb=cb=c. Prove that GGG is Abelian. (”Cross cancellation” implies commutativity.)

solution

(Law of Exponents for Abelian Group) Let aaa and bbb be elements of an Abelian group and let nnn be any integer. Show that (ab)n=anbn(ab)^n=a^nb^n(ab)n=anbn. Is this also true for non-Abelian groups?

solution

Let GGG be a finite group. Show that the number of elements xxx of GGG such that x3=ex^3=ex3=e is odd. Show that the number of elements xxx of GGG such that x2≠ex^2 \neq ex2=e is even.

solution

Prove that if GGG is a group with the property that the square of every element is the identity, then GGG is Abelian.