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Divisibility in Integral Domain

Definition

DD가 I.D(Integral Domain; 정역) 일 때
1.
만약 a,b∈Da,b \in D에 대해 어떤 unit u∈Du \in D가 a=uba=ub를 만족하면 이를 associates라 한다.
2.
만약 어떤 non-unit a∈D∖{0}a \in D\setminus\{0\}에 대해 a=bca=bc가 성립하는 b,c∈Db,c \in D 중 bb 또는 cc가 unit이면 aa는 irreducible 이다.
3.
만약 non-unit a∈D∖{0}a \in D\setminus\{0\}에 대해 a∣(bc)a|(bc)일 때 a∣b    or    a∣ca|b \;\; or \;\; a|c가 성립하면 aa는 prime이다.

remark

1.
in Z\mathbb{Z}, prime⇔\Leftrightarrowirreducible
2.
in general, prime⇒\Rightarrowirreducible (but irreducible⇏\nRightarrowprime)
3.
irreducible element admits only trivial factorization
4.
aa: prime⇔⟨a⟩\Leftrightarrow \langle a \rangle: prime ideal
Z[d]={a+bd:a,b∈Z}\mathbb{Z}[\sqrt{d}]=\{a+b\sqrt{d}:a,b\in\mathbb{Z}\}이고 여기서 dd는 제곱 인수가 없는 수 (i.e. d≠1  &  ∀p2∤dd\ne1 \; \mathcal{\And} \; \forall p^2\nmid d)라 할 때, 노름 N:Z[d]→Z≥0N:\mathbb{Z}[\sqrt{d}] \rightarrow \mathbb{Z}_{\ge 0}을 N(k)=∣a2−db2∣,  k∈Z[d]N(k)=|a^2-db^2|, \; k\in\mathbb{Z}[\sqrt{d}]라 정의하자. 이 때 함수NN은 아래 네가지 성질을 만족한다.
1.
N(x)=0⟺x=0N(x)=0 \Longleftrightarrow x=0
2.
N(xy)=N(x)N(y),  ∀x,y∈Z[d]N(xy)=N(x)N(y), \; \forall x,y \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]
3.
N(x)=1⟺xN(x)=1 \Longleftrightarrow x는 unit
(⇐)  trivial(⇒)N(x)=∣a2−db2∣=∣(a+bd)(a−bd)∣=∣x(xˉ)∣=1∴x    is    unit\begin{align*} &(\Leftarrow)\;trivial \\ &(\Rightarrow)N(x)\\ &=|a^2-db^2| \\ &=|(a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d})| \\ &=|x(\bar{x})| \\ &=1 \\ &\therefore x \;\; is \;\; unit \end{align*}
4.
N(x)N(x)가 prime이면⟹\Longrightarrow Z[d]\mathbb{Z}[\sqrt{d}]에서 xx는 irreducible

Example

Example

Theorem 1

I.D에서 prime인 원소는 irreducible하다.
Proof
aa가 prime일 때 a=bca=bc라 하면 위 3번 prime의 정의에 의해 a∣(bc)⇒a∣ba|(bc) \Rightarrow a|b 또는 a∣ca|c가 성립한다.
어떤 t∈Dt\in D에 대해 a∣ba|b이므로 b=atb=at이다.
b⋅1=b=a⋅t=(bc)tb\cdot1=b=a\cdot t=(bc)t이며 따라서 1=ct1=ct가 성립한다.
이에 따라 cc는 unit이므로 aa는 irreducible 하다.

Theorem 2

PID에서 prime⇔\Leftrightarrowirreducible 가 성립한다.
Proof
(⇒)(\Rightarrow)이전 Theorem 1에 의해 성립한다.
(⇐)(\Leftarrow)irreducible 한 a∈Da\in D를 잡고 a∣(bc)a|(bc)라 하자.
a∣ba|b또는 a∣ca|c가 성립함을 보이면 된다.
I:={ax+by:x,y∈D}⇒I⊂D\mathbf{I}{:=}\{ax+by:x,y\in D\} \Rightarrow \mathbf{I} \sub D : ideal
d′∈Dd' \in D에 대해 d′(ax+by)=d′⋅ax+d′⋅by=(d′⋅a)x+(d′⋅b)y∈Id'(ax+by)=d'\cdot ax + d'\cdot by = (d'\cdot a)x + (d'\cdot b)y \in \mathbf{I}가 성립한다. 따라서 I⊆idealD\mathbf{I}\underset{ideal}{\sube}D가 성립한다.
DD는 PID이므로 ∃d∈D  with  I=⟨d⟩\exists d \in D \;with\; \mathbf{I}=\langle d \rangle
a∈Ia\in\mathbf{I}이므로 어떤 r∈Dr \in D에 대해 a=dra=dr이 성립한다.
aa가 irreducible 이므로 정의에 의해 dd또는 rr가 unit이다.
만약 dd가 unit이면, 1p∈I=D⇒1=ax+by⇒c=acx+bcy=a(cx)+(bc)y1_p\in \mathbf{I}=D \Rightarrow 1=ax+by \Rightarrow c=acx+bcy =a(cx)+(bc)y가 성립한다. a∣(bc)a|(bc)이므로 a∣ca|c가 성립한다. 따라서 명제는 참이다.
만약 rr이 unit이면, ⟨a⟩=⟨d⟩=I,  b=(a+b)−a\langle a \rangle=\langle d\rangle = \mathbf{I},\; b=(a+b)-a다. 이 때, a+b∈Ia+b\in \mathbf{I}이고(x=1,y=1x=1,y=1) 또한 a∈Ia\in \mathbf{I} 이므로 이들을 연산한 b=(a+b)−a∈Ib=(a+b)-a \in \mathbf{I} 가 성립한다. t∈D  s.t  at=bt\in D \;s.t\; at=b가 성립하므로 a∣ba|b은 참이다. 따라서 명제는 참이다.

Example

Z[x]\mathbb{Z}[x]는 PID가 아니다.
I={f(x)∈Z[x]:f(0)∈2Z}=⟨2,x⟩\mathbf{I} = \{f(x)\in\mathbb{Z}[x]: f(0) \in 2\mathbb{Z}\}=\langle 2,x\rangle이라 하면 I\mathbf{I}가 22와 xx로 제네릭한 함수가 된다.
PID는 원소 하나로 제네릭한 형태여야 하므로 어떤 h(x)∈Z[x]h(x)\in\mathbb{Z}[x]에 대해 I=⟨h(x)⟩\mathbf{I}=\langle h(x) \rangle가 성립해야 한다. 22와 xx가 h(x)h(x)를 제네릭 하여 만들어져야 하므로 h(x)∣2h(x)|2와 h(x)∣xh(x)|x가 성립함을 알 수 있다. 따라서 2=h(x)f(x),  x=h(x)g(x)2=h(x)f(x),\;x=h(x)g(x)가 성립한다.
먼저 2=h(x)f(x)2=h(x)f(x)를 이용한다. 22의 차수는 00이고 22가 h(x)h(x)와 f(x)f(x)의 곱이므로 0=deg⁡2=deg⁡h+deg⁡f0=\deg{2}=\deg{h}+\deg{f}가 성립한다. 차수는 00보다 크거나 같은수이므로 deg⁡h+deg⁡f=0+0\deg{h}+\deg{f}=0+0가 되며 따라서 deg⁡h=deg⁡f=0\deg{h}=\deg{f}=0가 된다. 즉, h(x)h(x)의 차수와 f(x)f(x)의 차수 모두 00이므로 둘 다 상수 함수임을 의미한다. h(x)h(x)와 f(x)f(x) 모두 상수함수 이므로 h(x)g(x)h(x)g(x)는 어떤 값을 넣어도 값이 22가 된다. 이를 풀면 2=h(1)f(1)⇒h(1)=±1  or  ±22=h(1)f(1)\Rightarrow h(1)=\pm1 \; or \; \pm 2가 성립하게 된다. 그러나 h(x)h(x)가 ±1\pm 1이면 h(0)∉2Zh(0)\notin 2\mathbb{Z}이므로 h(x)=±1∉Ih(x)=\pm1 \notin \mathbf{I}이기 때문에 h=±2h=\pm 2가 된다.
이어서 x=h(x)g(x)x=h(x)g(x)를 이용하면, x=h(x)g(x)=±2⋅g(x)x=h(x)g(x)=\pm 2 \cdot g(x)이고 이를 만족하려면 g(x)=±12x∉Z[x]g(x)=\pm\frac{1}{2}x \notin \mathbb{Z}[x]이기 때문에 모순이다.
따라서 Z[x]\mathbb{Z}[x]는 PID가 아니다.

Definition

DD : domain 아래 조건을 만족할 때, DD를 unique factorization domain(UFD)라 한다.
1.
non-unit ∀α∈D∖{0}\forall \alpha \in D\setminus\{0\} α=a0a1⋯an\alpha=a_0a_1\cdots a_n for ai∈Da_i \in D : irreducible
2.
this factorization is unique up to associates & reordering
원소의 유한한 인수분해가 존재한다는 것은 주어진 원소가 유한한 수의 기약원의 곱으로 나타낸다는 의미이다.

Theorem

PID ⇒\RightarrowUFD
Proof
non-unit a0∈D∖{0}a_0 \in D\setminus\{0\}라 할 때

참고문헌