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Chapter 1.3: Conics over the Complex Numbers

실수공간과 달리 복소공간에서의 곡선(conic)에 대해선 모든 문제가 완전히 해결되었다. 그 동안 익숙했던 관점은 복소수를 a+bia+bi꼴로써 실수와 허수를 분리하였다. 즉, 이차원의 실수공간으로 바라보는것이었다. 지금부턴 일차원의 복소수 자체를 다루며 본 챕터에선 복소공간에서의 이차곡선에 대해 살펴본다.

Theorem (The Fundamental Theorem of Algebra)

F(x)∈C[x]:={a0+a1x+⋯+anxn:ai∈C,  n∈Z≥0}F(x)\in\mathbb{C}[x]:=\{a_0+a_1x+\cdots + a_nx^n:a_i\in\mathbb{C},\;n\in\mathbb{Z}_{\geq0}\}에서 degF(x)=ndegF(x)=n일 때 F(x)F(x)는 반드시 nn개의 복소해를 갖는다.

Example

•
x2+1=0x^2+1=0은 실수해를 갖지 않는다.
•
x2+1=0x^2+1=0은 2개의 복소해를 갖는다. (C:±i\mathbb{C}:\pm i)

Exercise 1.3.1

C(F):={(x,y)∈F2:x2+y2+1=0}C(F):=\{(x,y)\in F^2:x^2+y^2+1=0\}에 대해
•
C(R)=∅;C(\mathbb{R})=\empty; (0≤x2+y2=−1 0 \leq x^2+y^2 =-1이므로)
•
C(C)≠∅;C(\mathbb{C})\neq \empty; x∈Cx\in\mathbb{C}, y2=−x2−1⇒y=±−x2−1y^2=-x^2-1 \Rightarrow y=\pm \sqrt{-x^2-1}이므로 x≠±ix\neq \pm i면 yy는 두 개의 해를 갖는다. x=±ix=\pm i면 yy는 한 개의 해를 갖는다.(중근)

Exercise 1.3.2

타원을 복소공간에서 다뤘을 때 어떻게 되는지 확인하기 위해 아래 문제를 풀어보자.
(a≠0)P(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f(a\neq0)P(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f에서 어떤 y∈Cy\in\mathbb{C}에 대해 P(x,y)=0P(x,y)=0인 x∈Cx\in\mathbb{C}가 적어도 1개, 최대 2개 존재함을 보여라.

Proof.

타원(ellipse)는 실수에선 근이 없을 수 도 있는것과 다르게 복소수에선 항상 근이 존재한다. 이를 통해 아래와 같은 사실을 알아낼 수 있다.
실수 공간에서 타원은 경계(bound)가 존재한다. 즉, 어떤 xx 또는 yy는 이에 해당하는 yy와 xx가 존재하지 않을 수 있다. 그러나 복소공간에선 항상 근이 존재하므로 경계가 없다(unbounded).

Exercise 1.3.4

쌍곡선(hyperbola)을 복소공간에서 다뤘을 때 어떻게 되는지 확인하기 위해 아래 문제를 풀어보자.
C=V(x2−y2−1)⊂C2C=V(x^2-y^2-1)\subset \mathbb{C}^2에서 (−1,0)(-1,0)에서 (1,0)(1,0)으로 가는 연속경로(continuous path)가 존재함을 보여라

Proof.

Exercise 1.3.5

V(X2+Y2−1)⊂C{X,Y}2V(U2−V2−1)⊂C{U,V}2{U=XV=iY⟶(UV)=(100i)(XY)\begin{align*} &V(X^2+Y^2-1)\subset \mathbb{C}^2_{\{X,Y\}} \\ &V(U^2-V^2-1) \subset \mathbb{C}^2_{\{U,V\}} \\ &\begin{cases} U=X \\ V=iY \end{cases} \longrightarrow \begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} \end{align*}

Definition

복소공간 C2\mathbb{C}^2에서 아래와 같은 조건을 만족할 때 이를 복소 아핀 좌표변환(complex affine change of coordinate)이라 한다.
F:C{x,y}2⟶C{u,v}2F:\mathbb{C}^2_{\{x,y\}}\longrightarrow \mathbb{C}^2_{\{u,v\}}가 (uv)=(abcd)(xy)+(ef)⋯(∗)\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix}\cdots(*)의 형식이고 (abcd)∈GL2(C),    e,f∈C\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in GL_2(\mathbb{C}),\;\;e,f\in\mathbb{C}이다.

Exercise 1.3.7

역변환(inverse transform) F−1:C{u,v}2⟶C{x,y}2F^{-1}:\mathbb{C}^2_{\{u,v\}}\longrightarrow\mathbb{C}^2_{\{x,y\}}을 구하여라

Definition

C=V(f),  C′=V(F′)⊂C2C=V(f),\;C^{\prime}=V(F^{\prime})\subset \mathbb{C}^2일 때 C≅C′:C\cong C^{\prime}: 복소공간 C\mathbb{C}에서 동일하다(equivalent over C\mathbb{C}) ⇔\Leftrightarrow 좌표(coordinate) FF의 어떤 복소 아핀 좌표변환(complex affine change of coordinate)이 f′=F(f)f^{\prime}=F(f)이다.

Exercise 1.3.7

모든 타원(ellipse)와 쌍곡선(hyperbola)는 복소공간 C\mathbb{C}에서(over) 복소 아핀 좌표변환(complex affine change of coordinate)하에 동일하다.

Proof.

복소공간에서(over complex space) 타원(ellipse)와 쌍곡선(hyperbola)는 서로 동일 클래스(equivalent class)다. 그러나! 포물선과는 동일관계(equivalent relation)이 존재하지 않는다.

Exercise 1.3.8

타원(ellipse)와 포물선(parabola)이 동일관계(equivalent relation)이 존재하지 않음을 확인한다.
C=V(x2+y2−1)≆CV(u2−v)=C′C=V(x^2+y^2-1)\underset{\mathbb{C}}{\ncong} V(u^2-v)=C^{\prime}을 보여라

Proof.

본 과목에서 바라보는 기하 배경은 R2→C2→PC2\mathbb{R^2\rightarrow C^2\rightarrow P_C^2}이고 R2→C2\mathbb{R^2\rightarrow C^2}를 유클리드 기하, C2→PC2\mathbb{C^2\rightarrow P_C^2}를 비유클리드 기하라 한다.

Exercise 1.3.9

CRC_{\mathbb{R}}를 복소 이차곡선(complex conic) CC에서의 리얼 슬라이스(real slice)라 한다.

Exercise 1.3.10