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Finite Groups와 Subgroups

Terminology and notation

example

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(Z,+)(\mathbb{Z},+) → ∣Z∣=∞|\mathbb{Z}|=\infty이다. 1∈Z, ∣1∣=∞1 \in \mathbb{Z},~|1|=\infty, 0∈Z, ∣0∣=10\in \mathbb{Z},~|0|=1
•
(Z6,+)(\mathbb{Z}_6,+) → ∣Z6∣=6|\mathbb{Z}_6|=6이다. 2∈Z6, ∣2∣=32\in\mathbb{Z}_6,~|2|=3

notation

u(n):={m∈Z+:m<n, gcd(m,n)=1}u(n):=\{m\in\mathbb{Z}^+:m<n,~gcd(m,n)=1\} : nn보다 작으면서 nn과 서로소(relative prime)인 양수의 집합

u(n)u(n)이 그룹(group)인지 증명

example

u(15)={1,2,4,6,8,11,13,14}u(15)=\{1,2,4,6,8,11,13,14\}
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항등원(identity): 11
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역원(inverse): 11 88 44 1313 22 1111 77 1414
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∣u(15)∣=8|u(15)|=8
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오더(order): 11 44 22 44 44 22 44 22

Definition

그룹(group) G에 대해, ∣G∣<∞|G|<\infty면 유한그룹(finite group)이라 하고 ∣G∣=∞|G|=\infty면 무한그룹(infinite group)이라 한다.

Definition

만약 그룹(group) GG의 부분집합(subset) HH가 GG의 연산(operation)을 유지하는 그룹이라면 HH를 GG의 서브그룹(subgroup)이라 한다.
GG : a group HH is a subgroup of GG (H<GH < G) if
1.
H⊂GH \subset G
2.
(H,⋅G)(H, \cdot_G) is a group ⋅:G×G→G\cdot : G \times G \rightarrow G ⋅H=⋅G∣H×H:H×H→H\cdot_H = \cdot_G | _{H\times H} : H \times H \rightarrow H

example

SL(2,R)<(GL(2,R),⋅)SL(2,\mathbb{R}) < (GL(2,\mathbb{R}),\cdot)

example

(Z6={0,1,2,3,4,5},+ mod 6)(\mathbb{Z}_6=\{0,1,2,3,4,5\},+~mod~6)
{0,3}<Z6\{0, 3\} < \mathbb{Z}_6, {0,2,4}<Z6\{0,2,4\} < \mathbb{Z}_6
note {e}<G\{e\} < G는 당연한 그룹(trivial group)이라고 한다.

Definition

만약 H<GH<G이고 H≠GH\neq G라면 HH를 GG의 프로퍼 서브그룹(proper subgroup)이라 한다. 만약 H<GH<G이고 H≠{e}H \neq \{e\}면 HH를 GG의 논프로퍼 서브그룹(nontrivial subgroup)이라 한다.

non-example

{2}⊂Z6\{2\} \subset \mathbb{Z}_6이지만 {2}≮Z6\{2\} \not< \mathbb{Z}_6 이다. (∵2+2=4\because2+2=4인데 4∉{2}4\not\in\{2\}이므로 닫혀있지 않음)

Theorem One-step Subgroup Test (a.k.a Sub group Test 1)

만약 공집합이 아닌 H⊂GH \subset G에 대해 ∀a,b∈H^\forall a,b \in H이고 ab−1∈Hab^{-1} \in H라면 H<GH < G가 성립한다.

Proof.

example

GG가 아벨리안 그룹(abelian group)이고 H={x∈G  :  x2=e}H=\{x \in G \; : \; x^2=e \}이면 공집합이 아닌 H<GH <G이다. (∵e2=e⇒e∈H\because e^2=e \Rightarrow e\in H)

Proof.

example

GG가 아벨리안 그룹(abelian group)이고 H={x2:x∈G}H=\{x^2:x\in G\}면 H<GH <G이다.

Proof.

Theorem Two-step Subgroup Test (a.k.a Subgp Test 2)

만약 ∀a,b∈H^{\forall} a,b \in H에 대해 1️⃣ ab∈Hab \in H이고 2️⃣ ∀a∈H,  a−1∈H^{\forall} a \in H, \; a^{-1}\in H면 H<GH < G가 성립한다.

example

G=(R∗,⋅)G=(\mathbb{R}^{*}, \cdot)에 대해 H={x∈G:x=1    or    x∈R−Q}H=\{x\in G:x=1\;\;or\;\; x \in \mathbb{R-Q} \}이면 H≮GH \not< G이다.

Proof.

Theorem

∅≠H⊂G\emptyset \neq H \subset G가 ∣H∣<∞|H| < \infty일 때 (유한그룹) 만약 ∀a,b∈H,  ab∈H^{\forall}a,b \in H,\;ab\in H면 H<GH < G가 성립한다.

Proof.

notation

a∈Ga\in G에서 ⟨a⟩:={an:n∈Z}\langle a \rangle := \{a^n:n\in \mathbb{Z}\}이고 a0a^0은 항등원(identity)이다.

Theorem

a∈G⇒⟨a⟩<Ga\in G \Rightarrow \langle a \rangle < G

Proof.

Definition

⟨a⟩\langle a \rangle를 aa에 의해 생성된 GG의 순환그룹(cyclic group)이라고 하고 aa를 제너레이터(generator)라 한다. 만약 임의의 a∈Ga\in G에 대해 G=⟨a⟩G=\langle a \rangle면 GG를 순환그룹(cyclic group)이라고 한다.

Lemma

모든 순환그룹(cyclic group)은 아벨리안(abelian)이다.

Definition

Z(G)={a∈G:ax=xa  ,∀x∈G}Z(G)=\{a\in G:ax=xa\;,^{\forall}x \in G\}를 GG의 센터(center)라고 한다.
😜 ZZ는 독일어로 중심을 의미하는 Zentrum에서 나왔습니다.

Theorem

Z(G)<GZ(G)<G

Proof.

Theorem

G:abelian⇔Z(G)=GG:abelian \Leftrightarrow Z(G)=G

Proof.

Definition

a∈Ga\in G일 때 c(a)={g∈G:ga=ag}c(a)=\{g\in G:ga=ag\}를 aa의 센트라이저(centralizer)라고 한다.

Theorem

G:abelian⇔c(a)=G,∀a∈GG:abelian \Leftrightarrow c(a)=G,^{\forall}a \in G

Theorem

∀a∈G,  c(a)<G^{\forall}a \in G, \;c(a)<G