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Group Homomorphisms

본 페이지에서는 대수에서 가장 근원적인 아이디어인 호모모르피즘(homorphism)에 대해 다룹니다. 호모모르피즘(homorphism)는 그리스어로 부터 나온 말로 호모(homo)는 같다(like), 모르피즘(morphism)은 형태(form)란 뜻을 가집니다. 즉, 호모모르피즘이란 같은 형태를 가진다는 뜻입니다.

Definition

GG에서 Gˉ\bar{G}로 가는 함수 ϕ\phi가 그룹 연산이 유지될 때 이를 호모모르피즘(homorphism)이라 한다. 즉, ∀a,b∈G,ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b)\forall a,b \in G, \phi(ab)=\phi(a)\phi(b)가 성립한다.

Definition

그룹 GG에서 항등원을 가진 그룹으로 가는 호모모르피즘인 함수 ϕ\phi가 {x∈G∣ϕ(x)=e}\{x\in G | \phi(x)=e\}이면 이를 커널(kernel)이라 한다. ϕ\phi의 커널은 kerϕker\phi라 표기한다.
즉, 대수구조에서 ϕ\phi의 커널이란 항등원을 함수값으로 가지는 원소들의 집합을 말한다.

example

R[x]={c0+c1x+⋯+cnn:ci∈R,n∈Z≥0}\mathbb{R}[x]=\{c_0+c_1x+\cdots + c_n^n:c_i\in\mathbb{R},n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\}
(R[x],+)(\mathbb{R}[x],+) : (∑i=0ncixi)+(∑j=0mdjxj)=∑i=0m(ci+di)xi,  n≥m,dj=0(\sum^n_{i=0}c_ix^i)+(\sum_{j=0}^md_jx^j)=\sum_{i=0}^m(c_i+d_i)x^i,\;n\geq m,d_j=0 for j=m+1,⋯ ,nj=m+1,\cdots,n
D:R[x]⟶R[x]D:\mathbb{R}[x]\longrightarrow \mathbb{R}[x], f↦dfdxf\mapsto \frac{df}{dx}, ∑i=0ncixi↦∑i=1nicixi−1\sum_{i=0}^nc_ix^i\mapsto \sum_{i=1}^n ic_ix^{i-1}
DD is homorphism (∵D(f+g)=D(f)+D(g)⇔(f+g)′=f′+g′\because D(f+g)=D(f)+D(g) \Leftrightarrow (f+g)'=f'+g') kerDkerD is constant (kerD∈RkerD\in \mathbb{R})

example

ϕ:Z→Zn\phi:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}_n, m↦mmod  nm\mapsto m\mod n
ϕ\phi : homorphism, kerϕ=nZker\phi=n\mathbb{Z}

example

ϕ:R∗→R∗\phi:\mathbb{R}^{*}\rightarrow \mathbb{R}^{*}, x↦x2x\mapsto x^2
ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b)⇔(ab)2=a2b2\phi(ab)=\phi(a)\phi(b) \Leftrightarrow (ab)^2=a^2b^2
kerϕ={1,−1}ker\phi=\{1,-1\}

example

ϕ:R→R,x↦x2\phi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto x^2
ϕ(a+b)=(a+b)2=a2+b2+2ab≠a2+b2=ϕ(a)+ϕ(b)\phi(a+b)=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\neq a^2+b^2=\phi(a)+\phi(b)
∴ϕ\therefore \phi is not homorphism

example

ϕ:Z/⟨3⟩→Z6,x+⟨3⟩↦3x\phi:\mathbb{Z}/\langle 3 \rangle \rightarrow \mathbb{Z}_6, x+\langle 3 \rangle \mapsto 3x
ϕ(x+⟨3⟩)+ϕ(y+⟨3⟩)=3(x+y)\phi(x+\langle 3 \rangle) + \phi(y+\langle 3 \rangle) = 3(x+y)
ϕ(x+y+⟨3⟩)=3(x+y)+⟨3⟩\phi(x+y+\langle 3 \rangle)=3(x+y)+\langle 3 \rangle
ϕ(x+⟨3⟩)+ϕ(y+⟨3⟩)≠ϕ(x+y+⟨3⟩)\phi(x+\langle 3 \rangle) + \phi(y+\langle 3 \rangle)\neq \phi(x+y+\langle 3 \rangle)
∴ϕ\therefore \phi is not homorphism

Properties

Theorem 10.1

ϕ:G→Gˉ:homorphism,  g∈G\phi:G\rightarrow \bar{G}:homorphism,\; g \in G
1.
ϕ(eG)=eGˉ\phi(e_G)=e_{\bar{G}}
2.
ϕ(gn)=[ϕ(g)]n    ∀n∈Z\phi(g^n)=[\phi(g)]^n\;\; \forall n \in \mathbb{Z}
3.
if ∣g∣<∞⇒∣ϕ(g)∣  ∣  ∣g∣|g|<\infty \Rightarrow |\phi(g)|\; | \;|g|
4.
kerϕ<Gker \phi < G
5.
ϕ(a)=ϕ(b)⇔akerϕ=bkerϕ\phi(a)=\phi(b) \Leftrightarrow a ker\phi=bker\phi
6.
if ϕ(g)=g′⇒ϕ−1(g′)=gkerϕ\phi(g)=g' \Rightarrow \phi^{-1}(g')=gker\phi (={x∈G:ϕ(x)=g′}=\{x \in G:\phi(x)=g'\})

proof