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3.4 Möbius Transformations

a,b,c,da,b,c,d가 복소상수(complex constants)일 때 복소공간 C+\mathbb{C}^+에서 정의된 함수 T(z)=(az+b)(cz+d)T(z)=\frac{(az+b)}{(cz+d)}가 있다고 하자. 이 때 ad−bc≠0ad-bc\neq 0이면 함수 T(z)T(z)를 뫼비우스 변환(Möbius Transformations)이라 한다. 또한 이러한 형태의 변환을 선형분수변환(fractional linear transformations)이라 한다.
복소수 ad−bcad-bc를 T(z)=(az+b)(cz+d)T(z)=\frac{(az+b)}{(cz+d)}의 판별식(determinant)이라고 하고 Det(T)\mathtt{Det}(T)로 표기한다.
뫼비우스 함수는 Azw+Bz+Cw+D=0    (AD−BC≠0)Azw+Bz+Cw+D=0\;\;(AD-BC\neq 0)로도 표현한다.

Theorem 3.4.1

C+\mathbb{C}^+에서의 함수
T(z)=az+bcz+dT(z)=\frac{az+b}{cz+d}
가 변환(transformation)인것과 ad−bc≠0ad-bc\neq0인것은 서로 필요충분조건이다.

Proof.

위 명제의 증명과정을 통해 뫼비우스 변환(Möbius transformation)의 역변환(inverse transformation)을 추론할 수 있다. 역변환 또한 판별식(determinant)이 00이 아니므로 이 또한 뫼비우스 변환이 된다. 사실, 역변환의 판별식은 원래 변환의 판별식과 같은 값을 같는다. 이를 정리하여 아래 Theorem을 끌어낼 수 있다.

Theorem 3.4.2

뫼비우스 변환
T(z)=az+bcz+dT(z)=\frac{az+b}{cz+d}
는 아래와 같은 역변환을 갖는다.
또한 뫼비우스 변환의 역(inverse)도 뫼비우스 변환이 된다.
T−1(z)=−dz+bcz−aT^{-1}(z)=\frac{-dz+b}{cz-a}

Theorem 3.4.3

두 뫼비우스 변환(Möbius transformation)을 합성해도 뫼비우스 변환(Möbius transformation)이 된다.
평면에서 평행이동(translation)과 회전(rotation)이 직선에 대한 반사(reflection)으로 구성할 수 있는것 처럼, 뫼비우스변환도 클레인에 대한 반전(inversion)으로 구성할 수 있다.

Theorem 3.4.4

C+\mathbb{C}^+에서 어떤 변환이 뫼비우스 변환이다와 어떤 변환이 반전변환의 짝수번 합성한 변환이다는 필요충분조건이다.

Proof.

뫼비우스 변환이 반전변환의 합성함수이므로 반전변환의 성질을 그대로 만족하게 된다. 예를들어 반전변환은 클레인을 유지하므로 뫼비우스 변환 또한 클레인을 유지하고, 반전변환은 각도의 크기를 유지하므로 뫼비우스 변환 또한 각도의 크기를 유지한다.

Theorem 3.4.5

뫼비우스 변환은 클레인을 클레인으로 보내고 각도도 유지한다.

Theorem 3.4.6

모든 뫼비우스 변환 T:C+→C+T:\mathbb{C}^+\to \mathbb{C}^+는 한개 또는 두개의 고정점을 갖거나 C+\mathbb{C}^+위의 모든점을 고정한다.

Proof.

Theorem 3.4.8 Fundamental Theorem of Möbius transformations

C+\mathbb{C}^+에 있는 임의의 서로다른 3개의 점을 또 다른 C+\mathbb{C}^+위의 서로다른 3개의 점으로 보내는 유일한 뫼비우스 변환이 존재한다.

Proof

아래 수식은 z1→1,z2→0,z3→∞z_1\to 1, z_2\to 0, z_3\to \infty로 매핑하는 뫼비우스 변환의 유용한 수식이다.
T(z)=(z−z2)(z−z3)⋅(z1−z3)(z1−z2)T(z)=\frac{(z-z_2)}{(z-z_3)}\cdot\frac{(z_1-z_3)}{(z_1-z_2)}
뫼비우스 변환의 형태인 (az+b)/(cz+d)(az+b)/(cz+d)는 ziz_i가 서로 다르기 때문에 판별식이 00이 되는지 명확하지 않다. 또한 zi=∞z_i=\infty면 매핑의 형태는 ∞\infty인 항을 소거한다. 예를 들어 만약 z2=∞z_2=\infty면 z1→1,∞→0,z3→∞z_1\to1, \infty \to 0, z_3\to \infty인 매핑은 T(z)=(z1−z3)/(z−z3)T(z)=(z_1-z_3)/(z-z_3)가 된다.
임의의 세가지 서로다른 점을 1,0,∞1,0,\infty로 보내는 뫼비우스 변환은 아주 유용하게 사용할 수 있다.

Definition 3.4.10

서로 다른 4가지 복소수 z,w,u,v의 교차비(cross ratio)는 (z,w;u,v)(z,w;u,v)로 표현하고 아래와 같이 정의된다.
(z,w;u,v)=z−uz−v⋅w−vw−u(z,w;u,v)=\frac{z-u}{z-v}\cdot\frac{w-v}{w-u}
만약 zz가 변수이고 w,u,vw,u,v가 서로 다른 복소상수라면, T(z)=(z,w;u,v)T(z)=(z,w;u,v)는 w→1,u→0,v→∞w\to 1, u\to 0, v\to \infty인 (유일한)뫼비우스 변환이다.

Example 3.4.11 뫼비우스 변환 만들기

1↦3,i↦0,2↦−11\mapsto 3, i \mapsto 0, 2 \mapsto -1인 유일한 뫼비우스 변환을 찾아라

Solution

Theorem 3.4.12. 교차비의 불변성(Invariance of Cross Ratio)

서로 다른 네 점 z0,z1,z2,z3∈C+z_0,z_1,z_2,z_3\in \mathbb{C}^+가 있고 TT가 임의의 뫼비우스 변환이라 하자. 이 때 아래 식이 성립한다.
(z0,z1;z2,z3)=(T(z0),T(z1);T(z2),T(z3))(z_0,z_1;z_2,z_3)=(T(z_0),T(z_1);T(z_2),T(z_3))

Proof.

Example 3.4.13. 네개의 점이 하나의 클레인 위에 있을까?

교차비는 몇가지 성질을 만족한다.
•
교차비 (z,w;u,v)(z,w;u,v)가 실수(real number)면 점들은 같은 클레인 위에 있다.
•
교차비 (z,w;u,v)(z,w;u,v)가 복소수(complex)면 같은 클레인 위에 있지 않다.
예를들어 점 1,i,−1,−i1,i,-1,-i에 대해 확인해보자. 우선 우린 이 점들이 ∣z∣=1|z|=1인 원 위에 있는 점들이란 것을 알고있다. 위 교차비의 성질을 통해 다시 점들이 원 위의 점인지 확인해보자.
(1,i;−1,−i)=1+11+i⋅i+ii+1=21+i⋅2i1+i=4i(1−1)+2i=4i2i=2\begin{align*} (1,i;-1,-i)&=\frac{1+1}{1+i}\cdot \frac{i+i}{i+1} \\ &=\frac{2}{1+i}\cdot\frac{2i}{1+i} \\ &=\frac{4i}{(1-1)+2i} &=\frac{4i}{2i} \\ &=2 \end{align*}
교차비의 값이 실수이므로 네 점은 한 클레인(여기선 원) 위에 있다.

Corollary 3.4.14

만약 zz와 z∗z^*가 클레인 CC에 대해 대칭이고 TT가 임의의 뫼비우스 변환일 때, T(z)T(z)와 T(z∗)T(z^*)는 클레인 T(C)T(C)에 대해 대칭이다.

Theorem 3.4.15

두 클레인 C1C_1과 C2C_2가 주어졌을 때 C1↦ontoC2C_1\mapsto_{onto} C_2인 뫼비우스 변환 TT가 존재한다. 즉, T(C1)=C2T(C_1)=C_2이다.

Proof.